Séminaire n°30
Modélisation et
simulation numérique du piano par modèles physiques : schémas
préservant l'énergie pour des systèmes non linéaires couplés à des
systèmes linéaires
Intervenante: Juliette
Chabassier, INRIA-Bordeaux Sud Ouest, Pau
Contact :
juliette.chabassier(at)inria.fr
Date : 11/06/12
Résumé :
Le piano est un instrument d'une complexité remarquable. Pas moins de
12 000 pièces composent le fameux Steinway modèle D, le plus grand de
la gamme des pianos à queue Steinway ! Notre objectif est de modéliser
le comportement acoustique et vibratoire de l'instrument dans son
ensemble. Nous nous proposons de considérer les pièces principales :
marteau, cordes, table d'harmonie et rayonnement dans l'air afin de
construire un modèle mathématique et numérique du piano. Il semble que
l'aspect non linéaire des cordes a une influence considérable dans le
timbre percussif de l'instrument. Nous proposons donc un modèle de
cordes non linéaires prenant en compte la raideur liée à l'épaisseur de
la corde, ce qui aboutit à un premier système non linéaire d'EDP. De
plus, le couplage avec le marteau est lui-même non linéaire. A son
extrémité, la corde est fixée au chevalet, afin de transmettre son
énergie à la table d'harmonie. Enfin, la table d'harmonie rayonne dans
l'air, le champ de
pression se modifie et nos oreilles perçoivent un son. La
discrétisation d'un système d'une telle taille est un challenge,
d'autant plus que certains éléments ou couplages sont non linéaires. La
stabilité globale du schéma numérique est acquise grâce à une technique
d'énergie. Nous construisons un schéma qui conserve l'énergie totale du
système, en assurant la circulation réciproque de l'énergie entre
chaque sous système. Des méthodes numériques en temps très différentes
sont utilisées sur chaque sous système (schéma innovant sur les cordes,
méthode analytique pour la table d'harmonie, différences finies pour le
3D). Le couplage de toutes ces méthodes est effectué de façon efficace
grâce à l'utilisation de compléments de Schur ainsi que de
multiplicateurs de Lagrange qui assurent la "communication" entre les
sous systèmes numériques. Nous présenterons enfin des résultats
numériques montrant que ce modèle complet permet d'expliquer certains
phénomènes observés dans le piano et jusqu'ici jamais simulés.